pV
Источник - видео с канала “Павел ВИКТОР”
https://www.youtube.com/live/gwys7rQVC6M?si=5naT8VEDQmv_bC_J
Урок физики в Ришельевском лицее
Применение I закона термодинамики для различных процессов
\[Q = A^` + \Delta U\]1 закон термодинамики - количество теплоты, полученное системой или телом, равно
работе, совершённой этой системой плюс изменение внутренней энергии
1
Изохорный процесс ( \(V = const\) )
В изохорном процессе объем тела ( например, газа ) не изменяется.
Газ не расширяется и не сжимается.
А раз так, то тело не совершает работу. Представьте себе поршень, под которым находится газ.
Поршень в этом процессе находится в состоянии покоя, его работа равна нулю
( чтобы совершалась работа необходимо какое-либо перемещение )
\[Q = 0 + \Delta U\]Т.е. \(A^` = 0\)
Молярная теплоёмкость
Молярная теплоёмкость - это теплоёмкость одного моля вещества
\[C = \frac { Q } { \nu \, \Delta T }\]Молярная теплоёмкость - это физическая величина, численно равная количеству теплоты Q
которую необходимо сообщить одному молю вещества для увеличения его температуры на 1 Кельвин
Молярная изохорная теплоёмкость обозначается как \(C_V\)
\[C_V = \left. \frac { Q } { \nu \, \Delta T } \right\vert_{V = const} = \frac { \Delta U } { \nu \, \Delta T }\]Эта формула подходит для любой системы ( в том числе и для идеального газа )
Внутренняя энергия идеального газа
Внутренняя энергия идеального газа вычиисляется по формуле
\[U = \frac { i }{ 2 } \nu R T\]где \(i\) - число степеней свободы молекул
\(\nu\) - количество вещества в молях
R - универсальная газовая постоянная
T - абсолютная температура в Кельвинах
В свою очередь изменение внутренней энергии ( или дельта ) вычисляется по формуле
\[\Delta U = \frac { i }{ 2 } \nu R \, \Delta T\]Подставляем \(\Delta U\) в формулу молярной изохорной теплоёмкости
\[C_V = \frac { \Delta U } { \nu \, \Delta T } = \frac { i }{ 2 } R \frac { \nu \Delta T } { \nu \, \Delta T } = \frac { i }{ 2 } R\]2
Изобарный процесс ( \(p = const\) )
Изобарный процесс - это такой процесс, который протекает при постоянном давлении
Работу, при постоянном давлении, можно посчитать из конечного \(V_2\) и начального \(V_1\) объёма
газа следующим образом
\[A^` = p \, ( \, V_2 - V_1 \, )\]Молярная изобарная теплоёмкость
\[C_p = \left. \frac { Q } { \nu \, \Delta T } \right\vert_{p = const}\]Подставляем \(A^`\) в первый закон термодинамики \(Q = A^` + \Delta U\)
\[Q = p \, ( \, V_2 - V_1 \, ) + \Delta U\]Эта формула подходит для любой системы
Изобарный процесс в идеальном газе
Найдём работу при расширении идеального газа при постоянном давлении
\[A^` = p \, ( \, V_2 - V_1 \, ) = pV_2 - pV_1\]Из уравнения состояния идеального газа \(p \, V \, = \, \nu \, R \, T\) вытекает, что
\[A^` = \nu \, R \, T_2 - \nu \, R \, T_1 = \nu R \Delta T\]Из этого выражения следует, что универсальная газовая постоянная \(R\) численно равна
работе \(A^`\), совершаемой одним молем идеального газа при изобарном расширении,
и при увеличении абсолютной температуры \(T\) на 1 Кельвин.
Изменение внутренней энергии \(\Delta U = \frac { i }{ 2 } \nu R \, \Delta T\) и работу \(A^` = \nu R \Delta T\)
подставляем в 1 закон термодинамики \(Q = A^` + \Delta U\)
\[Q = \nu R \, \Delta T + \frac { i }{ 2 } \nu R \, \Delta T = \nu R \, \Delta T \, \left( 1 + \frac { i }{ 2 } \right)\]Это значение количества теплоты \(Q\) подставляем в молярную теплоёмкость \(C_p = \frac { Q } { \nu \, \Delta T }\)
\[C_p = \frac { \nu R \, \Delta T }{ \nu \, \Delta T } \, \left( 1 + \frac { i }{ 2 } \right) = R \left( 1 + \frac { i }{ 2 } \right) = \frac { i + 2 } { 2 } \, R\]Итак, запишем ещё раз наши результаты для изохорной и изобарной теплоёмкости
\[C_V = \frac { i }{ 2 } R\] \[C_p = \frac { i + 2 } { 2 } \, R = \frac { i }{ 2 } R + R\] \[C_p = C_V + R\]