Найти показатель адиабаты для смеси газов

Для решения этой задачи нам потребуется уравнение состояния идеального газа

\[p \, V \, = \, \nu \, R \, T\]

Формула внутренней энергии газа

\[U = \frac { i }{ 2 } \nu R T\]

Удельная теплоёмкость

\[c = Q \frac { 1 } { m \, T }\]

Надо выразить показатель адиабаты через количество вещества и степени свободы

Решение

Показатель адиабаты можно найти по формуле

\[\gamma = \frac { C_P } { C_V } = \frac { Q_P } { Q_V }\]

Где \(Q = \Delta U + A\)

1

При изохорном процессе работа не совершается потому что объем не изменяется

( \(A = 0\) )

\[Q = \Delta U = \frac { i }{ 2 } \nu R \Delta T = \frac { i_{ газ 1 } }{ 2 } \nu_{ газ 1 } R \Delta T + \frac { i_{ газ 2 } }{ 2 } \nu_{ газ 2 } R \Delta T\] \[\gamma = \frac { \Delta U + A } { \Delta U }\]

2

В изобарном процессе \(A = p \Delta V = \nu R \Delta T = ( \nu_{ газ 1 } + \nu_{ газ 2 } ) R \Delta T\)

Подставляем это выражение в формулу адиабаты предварительно в уме сокращаем \(R \Delta T\)

3

\[\frac { \frac { i_{ газ 1 } }{ 2 } \nu_{ газ 1 } + \frac { i_{ газ 2 } }{ 2 } \nu_{ газ 2 } + ( \nu_{ газ 1 } + \nu_{ газ 2 } ) } { \frac { i_{ газ 1 } }{ 2 } \nu_{ газ 1 } + \frac { i_{ газ 2 } }{ 2 } \nu_{ газ 2 } }\]

Умножаем числитель и знаменатель на 2

\[\frac { i_{ газ 1 } \, \nu_{ газ 1 } + i_{ газ 2 } \, \nu_{ газ 2 } + 2 \, ( \, \nu_{ газ 1 } + \nu_{ газ 2 } \, ) } { i_{ газ 1 } \, \nu_{ газ 1 } + i_{ газ 2 } \, \nu_{ газ 2 } }\]

Это и есть решение задачи и наш окончательный ответ